Jak zostać arcymistrzem gier matematycznych. Historia wielu znajomości. Figury stałej szerokości (Miniatury matematyczne nr 91)

SERIA Miniatury matematyczne dla szkół średnich

SERIA Miniatury matematyczne – wszystkie tytuły

autorzy: Anna Gołębiewska, Magdalena Wysokińska-Pliszka, Witold Kraśkiewicz, Mateusz Topolewski

Pierwsze dwie miniatury dotyczą kombinatoryki, czyli działu matematyki zajmującego się skończonymi strukturami. Najprostszą taką strukturą jest zbiór. W przypadku braku dalszych informacji jedynym sensownym pytaniem, jakie możemy zadać, jest pytanie o liczbę elementów. Znacznie ciekawiej wygląda sytuacja, gdy do zbioru dodamy dodatkowe informacje. Dodając do zbioru informację o pewnego rodzaju powiązaniach między jego elementami, otrzymujemy graf.

W drugiej miniaturze autorki zajmują się zadaniami dotyczącymi znajomości w pewnych grupach ludzi. Jest to właśnie taki sposób powiązania osób tworzących zbiór, który czyni z niego graf. Choć więc słowo graf w miniaturze nie pada, to w istocie jest ona poświęcona przykładom pytań, jakie możemy rozważać dla grafów.

Teoria grafów jest przykładem dziedziny w której łatwo można sformułować pytania, na które matematyka w dalszym ciągu nie zna odpowiedzi. Wnioskiem z jednego z pierwszych zadań jest, że w każdej grupie złożonej z przynajmniej 6 osób znajdą się trzy, które się wzajemnie znają lub trzy osoby, wśród których nie ma znajomych. W miarę łatwo można udowodnić coś ogólniejszego. Dla każdej liczby dodatniej n w dostatecznie dużej grupie osób znajdzie się n osób, które się wzajemnie znają lub n osób, wśród których nie ma żadnych znajomych. Pytanie, jak duża musi być ta grupa. Można pokazać, że dla n = 4 potrzeba i wystarczy 18 osób. Ale już dla n = 5 dokładna liczba potrzebnych osób nie jest znana. Wiadomo, że 42 osoby to zbyt mało, a 46 z pewnością wystarcza. Czy wystarcza ją 43 osoby, a może 44? Nie wiadomo.

W pierwszej miniaturze pojawia ją się jeszcze bardziej skomplikowane struktury kombinatoryczne związane z pewnymi grami. Pierwszymi grami, którymi zainteresowali się matematycy, były gry hazardowe, w których rolę odgrywa losowość. Tu jednak autor zajmuje się grami w swej naturze „kombinatorycznymi”, jak szachy czy kółko i krzyżyk, a więc grami, w których gracze kolejno wykonują pewne ruchy, wybierając jedną z być może wielu, ale skończenie wielu możliwości. Badając przykłady różnych gier, zobaczymy, jak matematyka prowadzi do odkrycia wspólnej struktury w na pozór różnych rzeczach.

Ostatnia miniatura poświęcona jest figurom geometrycznym, które – jak koło – we wszystkich kierunkach mają tę samą szerokość. Autor koncentruje się przede wszystkim na znajdowaniu przykładów takich figur. Ich świat okazuje się zaskakująco bogaty.

To 91 zeszyt wydany w serii Miniatury matematyczne.