Pozycyjne systemy liczbowe. Trzy definicje okręgu. Ułamki egipskie (Miniatury matematyczne nr 78)

SERIA Miniatury matematyczne dla uczniów klas 7 i 8 SP

SERIA Miniatury matematyczne – wszystkie tytuły

autorzy: Piotr Jędrzejewicz, Andrzej Sendlewski, Agnieszka Krause

Pierwszy artykuł dotyczy systemów pozycyjnych. W szkole frazę „dziesiętny system pozycyjny” wymawia się jednym tchem i traktuje jako nierozerwalną całość. W rzeczywistości składają się na nią dwa koncepty. Pierwszy, historycznie wcześniejszy, ale chyba mniej ważny, to dziesiętność. Kiedy ludzie zaczęli liczyć, wpadli na pomysł, by zliczane obiekty układać w kupki tej samej liczności, następnie kupki w kupki kupek, te znowu w kupki i tak dalej. Po ile w kupce? Niektórzy odpowiadają – oczywiście po 10, bo człowiek ma 10 palców. Rzeczywiście w ten sposób powstały dobrze znane nam dziesiątki, setki i tysiące, ale sytuacja wcale nie jest taka prosta, jak na pierwszy rzut oka mogłaby się wydawać. Bowiem niektórzy na tych samych palcach liczyli tylko do ośmiu – patyk włożony między kolejne palce przesuwał się w trakcie liczenia, więc liczono raczej przerwy między palcami niż palce. Jeszcze inni, dotykając kciukiem paliczków (kostek) pozostałych palców, potrafili na palcach zaledwie jednej dłoni policzyć aż do 12. Jeszcze inni woleli grupować po 20.

Istota systemu pozycyjnego sprowadza się do wynalezienia zera i to zera traktowanego na razie nie jako liczba, ale jako znak pisarski oznaczający brak jednostek danego rzędu. Pozwoliło to po raz pierwszy jednoznacznie zapisywać dowolnie duże liczby za pomocą niewielkiego zestawu znaków czyli cyfr. Co więcej, okazało się, że wykonywanie działań arytmetycznych na tak zapisanych liczbach jest bardzo proste. Wynalazku dokonano w Indiach, a więc w kręgu kulturowym posługującym się systemem dziesiętnym. Jego sukces niewątpliwie przyczynił się do rozpowszechnienia i ugruntowania dziesiątkowego sposobu liczenia. Ale jego istota jest niezależna od sposobu grupowania.

Niemal całkowicie wyparte systemy niedziesiętne powróciły wraz z pojawieniem się komputerów. Nie był to jednak powrót w ścisłym sensie, bo podstawy tych systemów są zupełnie inne od używanych w przeszłości. Jedną z głównych trudności technologicznych w konstrukcji elektronicznych maszyn liczących było utrzymywanie i rozróżnianie stanów pamięci maszyny. Do zapisu liczb użyto więc systemu z możliwie najmniejszą liczbą cyfr czyli systemu binarnego. Niestety, to co dobre dla maszyny, jest prawdziwym koszmarem dla człowieka. Zapis binarny liczby wymaga bowiem znacznie więcej cyfr niż zapis dziesiętny. Stąd na styku maszyna — człowiek używa się systemów, które łatwo jest zamienić na kod binarny, ale mają podstawę bliższą temu, do czego jesteśmy przyzwyczajeni, a więc przede wszystkim systemu szesnastkowego.

Sposobu zapisywania liczb dotyczy też ostatni artykuł, z tym że chodzi tu o liczby ułamkowe i czasy znacznie wcześniejsze. Pustynnemu klimatowi zawdzięczamy, że przetrwały papirusy będące świadectwem technik rachunkowych stosowanych w starożytnym Egipcie. Z dzisiejszego punktu widzenia mogą one wydać się dziwne i skomplikowane, ale należy pamiętać, że wyprzedzają powstanie matematyki starogreckiej o ponad tysiąc lat. Warto je poznać choćby po to, by zobaczyć, z jakim trudem ludzie dochodzili do wydawałoby się oczywistych rozwiązań. Ale są one także źródłem wielu nietypowych zadań i problemów matematycznych. Niektóre z nich, mimo prostoty sformułowania, do dziś nie znalazły rozwiązania.

Środkowy artykuł traktuje o geometrii okręgu. Czy okrąg można zdefiniować inaczej niż jako zbiór punktów równoodległych od środka? Pytanie może przywodzić na myśl popularne stwierdzenie o wynajdywaniu koła na nowo, a jednak ma odpowiedź twierdzącą. Autor pokazuje dwie takie definicje, a właściwie własności, bo przecież definicja może być tylko jedna. Obie mają starożytne pochodzenie, obie pretendowały kiedyś do definicji okręgu i obie przegrały ze znaną nam definicją, ale dają zupełnie inne spojrzenie na okrąg.

To 78 zeszyt wydany w serii Miniatury matematyczne. Jest on skierowany głównie do uczniów starszych klas szkół podstawowych, jednak również starsza młodzież, a nawet nauczyciele mogą znaleźć w nim interesujące ich treści.