O paraboli bez wzorów i równań. Trzeba sobie pomagać. O złożonościo obliczeń. Trójkąty liczbowe (Miniatury matematyczne nr 71)

SERIA Miniatury matematyczne dla szkół średnich

SERIA Miniatury matematyczne – wszystkie tytuły

autorzy: Andrzej Sendlewski, Anna Gołębiewska, Magdalena Wysokińska-Pliszka, Witold Kraśkiewicz, Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Mirosław Uscki

W skład tegorocznego tomiku miniatur matematycznych dla szkół średnich weszły cztery artykuły. Pierwszy z nich poświęcony jest paraboli. Ze wszystkich kształtów obłych badanych przez matematyków greckich w starożytności w geometrii szkolnej zachował się jedynie okrąg. Obecnie uczeń poznaje parabolę jako wykres funkcji kwadratowej i kojarzy ją raczej z algebrą niż z geometrią. Nie jest świadom, że w starożytności zdefiniowano ją w sposób czysto geometryczny i udowodniono wiele jej własności. Autor, doświadczony nauczyciel geometrii kilku pokoleń uczniów i studentów, proponuje wam wspólne, wspomagane komputerowo odkrywanie geometrii paraboli.

Druga miniatura nosi nieco mylący tytuł Trzeba sobie pomagać. Nie chodzi tu jednak o stosunki międzyludzkie i kooperacją, a o pomaganie sobie przy rozwiązywaniu zadań dotyczących jednego działu matematyki metodami wziętymi z zupełnie innego, czasami pozornie bardzo odległego działu. Autorki na przykładzie zadań pochodzących z różnych olimpiad i konkursów pokazują, jak można rozwiązać problem sformułowany czysto geometrycznie za pomocą metod algebraicznych i odwrotnie, jak użyć geometrii do rozwiązania problemów algebraicznych. Taki przepływ metod i idei nie jest rzeczą wyjątkową i zwykle prowadzi do ciekawych wniosków, a czasami do powstania nowych dziedzin matematyki – oprócz znanej ze szkoły geometrii analitycznej mamy na przykład geometrię algebraiczną i analityczną teorię liczb.

W następnej miniaturze nie znajdziecie ani zadań szkolnych, ani konkursowych, ani nawet twierdzeń, które mogą okazać się przydatne do ich rozwiązana. Została ona pomyślana jako opowieść o tym, co obecnie dzieje się w matematyce – oczywiście nie w całej matematyce, jedynie w pewnym, wybranym fragmencie, tak zwanej teorii złożoności. Zajmuje się ona (w pewnym uproszczeniu) pytaniem, co można obliczyć za pomocą komputerów.

Ostatnia miniatura opowiada o pewnych trójkątach liczbowych. Najsłynniejszy z nich zwany jest trójkątem Pascala, gdyż siedemnastowieczny francuski matematyk i filozof francuski Błażej Pascal poświęcił mu kilka prac. Liczby pojawiające się w tym trójkącie mają zarówno interpretację algebraiczną jak i kombinatoryczną i autorzy używają obu interpretacji do dowodu pewnych własności tych liczb. Mniej znany jest trójkąt nazwany nazwiskiem innego siedemnastowiecznego matematyka i filozofa, tym razem niemieckiego, Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Jakkolwiek liczby występujące w obu trójkątach są ze sobą ściśle powiązane, to trójkąt Leibniza odegrał istotną rolę w rozwoju innej dziedziny matematyki, tak zwanej analizy matematycznej. Rozpatrywanie nieskończonych ciągów związanych z trójkątem Leibniza było kamieniem milowym na drodze do zrozumienia, jakim ciągom można przypisać sumę i jak to precyzyjnie zrobić.

To 71 zeszyt wydany w serii Miniatury matematyczne.