Wielokąty, tangramy - pole a podziały (Miniatury matematyczne nr 77)

SERIA Miniatury matematyczne dla klas 4–6 SP

SERIA Miniatury matematyczne – wszystkie tytuły

autorzy: Zbigniew Bobiński, Piotr Nodzyński, Mirosław Uscki

W kolejnej miniaturze autorzy powracają do rozważań związanych z polem figury i porównywaniem pól wielokątów. Traktują je w naturalnym i nieco intuicyjny sposób. Zajmują się szczególnie polem wielokąta i problemami wynikającymi ze słynnego twierdzenia Farkasa Bolyaia i Paula Gerwiena, które odkryli niezależnie w roku 1833. Jeżeli dwa wielokąty mają równe pola, to zawsze można jeden w nich podzielić na skończoną liczbę takich wielokątów, aby z nich można było ułożyć drugi wielokąt. Twierdzenie to pozwala porównywać pola wielokątów bez obliczania tych pól. Warto zauważyć, że aby stwierdzić, że dwa wielokąty mają równe pola, wystarczy podzielić każdy z tych wielokątów na mniejsze wielokąty, tak by każdy z tych podziałów miał tyle samo elementów i by każdy wielokąt jednego podziału można nałożyć na pewien wielokąt drugiego podziału, tak by się pokrywały i by te wielokąty w parach wyczerpywały wszystkie wielokąty w obydwu podziałach.

Oznacza to, iż wziąwszy na przykład kwadrat wraz z danym jego podziałem możemy opisywać wielokąty o tym samym polu, dla których istnieje podział złożony z takich samych wielokątów jak podział kwadratu. Czasami te problemy pojawiają się w zadaniach zabawowych, chociaż wcale technicznie niełatwych. Przykładem takich problemów są tangramy. Często układane wielokąty z elementów danego podziału przypominają figury lub postacie spotykane w innych sytuacjach – postacie zwierząt, litery, figury szachowe itp – wówczas nie podkreślamy tego, że budujemy wielokąty.

Na końcu miniatury dodano trzy kartki z umieszczonymi na nich wielokątami, które wcześniej wykorzystano w zadaniach. Czytelnik może przy ich pomocy sprawdzić prawdziwości zamieszczonych odpowiedzi i być może poszukać innych rozwiązań tych zadań.

To 77 pozycja wydana w serii Miniatury matematyczne. Książeczka przeznaczona jest dla uczniów szkoły podstawowej. Jej zawartość stanowią nietypowe zadania i problemy, które mogą uzupełnić i uatrakcyjnić proces uczenia się i nauczania.