Algebra i teoria liczb. Matematyka olimpijska

SERIA Matematyka olimpijska

autor Adam Neugebauer

Książka całościowo ujmuje zagadnienia teorioliczbowe od liczb naturalnych po krzywe eliptyczne (dające narzędzie do dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata). Tomik zawiera też chronologiczne zestawienie nazwisk, tablicę liczb pierwszych do 2011 i ich pierwiastków pierwotnych, indeks nazw oraz bibliografię odsyłającą do pozycji popularnonaukowych, podręczników akademickich i zbiorów zadań. Wiadomości i zadania zebrane są w 12 działach.

• Pojęcia podstawowe – to przypomnienie najważniejszych wiadomości dotyczących liczb naturalnych i zespolonych, operacji arytmetycznych, zasady indukcji matematycznej i podstawowych struktur algebraicznych (grupa i pierścień, ciało).

• Elementarz – dalszy ciąg zebrania podstawowych faktów arytmetycznych – teoria podzielności, własności NWD i NWW, dzielenie z resztą, algorytm Euklidesa, równanie ax+by=n, twierdzenie Frobeniusa, rozkład na czynniki pierwsze, wykładniki p-adyczne, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, trójki pitagorejskie.

• Wielomiany – zebrana tu została podstawowa szkolna wiedza (m.in. o równaniach kwadratowych, o pierwiastkach wymiernych, twierdzenie Bezouta i Lagrange'a) oraz wiedza przydatna na poziomie olimpijskim (m.in. zasadnicze twierdzenie algebry, pierwiastki równań sześciennych, wielomiany cyklotomiczne i palindromiczne), a także przedstawiona została teoria podzielności w pierścieniu wielomianów.

• Funkcje arytmetyczne – przedstawiono tu własności funkcji związanych z dzielnikami (tau i sigma) oraz funkcji Eulera i splotu Dirichleta.

• Arytmetyka modulo – to zwięzły wykład teorii kongruencji z jej podstawowymi twierdzeniami (Eulera, Fermata, Wilsona, chińskie o resztach) i technikami (pierścienie reszt modulo, twierdzenie Lagrange'a o rzędzie grupy, pierwiastki pierwotne, liczby p-adyczne). Ponadto znajdziemy tu twierdzenia o liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych oraz resztach kwadratowych i prawie wzajemności.

• Dodatkowe wiadomości o wielomianach – ten rozdział poszerza wiadomości o zagadnienie pochodnej wielomianu, liczby algebraiczne i przestępne, aproksymacje Taylora, Maclaurina i Lagrange'a oraz kombinatoryczne twierdzenie o zerach.

• Aproksymacje diofantyczne – w tym rozdziale poznajemy twierdzenie Dirichleta, ułamki Farey'a i ułamki łańcuchowe i charakterystykę ich wymierności.

• Sumy kwadratów – oprócz zagadnień dotyczących sumy dwóch kwadratów poznajemy w tym rozdziale teorię form kwadratowych oraz zastosowania metod arytmetyki do rozwiązywania zagadnień geometrycznych.

• Ciągi rekurencyjne – badane przykłady to ciągi Fibonacciego i Lucasa oraz rekurencyjne modulo, wprowadzona jest metoda rozwikływania rekurencji przez funkcje tworzące, oraz macierzowy zapis przekształceń liniowych i zastosowania rekurencji w zagadnieniach geometrycznych.

• Pierścienie kwadratowe – poznajemy liczby całkowite Gaussa i teorie podzielności i rozkładu na czynniki w pierścieniach kwadratowych.

• Równania diofantyczne – w tym rozdziale wprowadzone są podstawowe metody rozwiązywania równań diofantycznych, a następnie rozważane są takie przykłady równań jak Ramanujana i indyjskie, formułowane jest Wielkie Twierdzenie Fermata i wyjaśniane są nieudane próby jego dowodu oraz omawiana jest teoria krzywych sześciennych, która przybliża ideę poprawnego dowodu.

• Wiadomości dodatkowe – znajdziemy tu ciekawe informacje, twierdzenia i zadania o części całkowitej i ułamkowej liczby rzeczywistej, zapisie pozycyjnym liczb naturalnych i rzeczywistych, rozwinięciach liczb na sumy ułamków egipskich, liczbach harmonicznych, współczynnikach rozwinięcia dwumianowego i własnościach symbolu Newtona, rozmieszczeniu liczb pierwszych na osi i innych własnościach liczb pierwszych.